SocioDone

Если объем выборки достаточно большой (практически, начиная с п > 20—30), то распределение выборочной средней , согласно центральной предельной теореме, независимо от характера генерального распределения приближается к нормальному распределению с параметрами

М()= и )

где — генеральная средняя,

σ— генеральное среднее квадратическое отклонение,

п — объем выборки.

Таким образом, величина

распределена по стандартному нормальному закону (с математическим ожиданием M(z) = 0 и средним квадратическим отклонением σ(z) = 1).

Задавшись доверительной вероятностью Р = 1 — α, определяем из равенства 2Ф(z) = 1 — α соответствующее значение za (используем при этом таблицу интегральной функции Лапласа). Тогда с вероятностью Р = 1 — α выполняется неравенство:

(1.9.22)

которое эквивалентно неравенству:

(1.9.23)

Величина называется предельной ошибкой выборки.

Таким образом, мы имеем доверительный интервал для генеральной средней:

( ; )

Наоборот, если задана предельная ошибка ε , а требуется определить вероятность Р, то схема решения задачи следующая:

ε→z=→Ф(z)→P=2Ф(z) (1.9.24)

Наконец, определение объема выборки п по данным Р и ε производится по следующей схеме:

P=2Ф(z) →z→n= (1.9.25)

Пример 1.9.4.

Взвешивание 50 случайно отобранных коробок печенья дало =1200г. Определить с вероятностью Р = 0,95 доверительные границы для среднего веса коробки печенья в генеральной совокупности, если есть основания полагать, что генеральная дисперсия σ2 = 11664.

Решение:

Дано: n=50; =1200; σ2 =11664 (= 108); Р = 0,95.

Из равенства Р = 2Ф(z)=0,95 по таблице значений интегральной функции Лапласа находим z=1,96, откуда:

ε=(г)

Таким образом, получаем доверительный интервал:

1200 — 30 < < 1200 + 30.

Пример 1.9.5Определить, с какой доверительной вероятностью можно утверждать, что при данном объеме выборки (50 коробок) ошибка выборки не превысит 20 г.

Решение:

По величине ε=20 вычисляем , откуда по таблице Ф(z): Р = 2Ф(1,31)≈0,81

Пример 1.9.6.Определить необходимый объем выборки n, который с вероятностью 0,99 гарантировал бы ошибку выборки не более чем ε = 20 г.

Решение:

Из Р = 2Ф(z) =0,99 находим z = 2,58, откуда:

Другие материалы:

Внутрисемейные отношения по «Домострою»
В российском религиозном мировоззрении корни язычества, «двоеверия» достаточно сильны. Возможно, поэтому православное христианство встало в борьбе между двумя языческими началами – женским и мужским – на сторону мужского, приводя семью к ...

Введение.
Темой работы является российская семья в условиях социально-экономического кризиса90-ых годов ХХ века. Актуальность данной работы на сегодняшний день достаточно чётко обозначена: актуально само обращение к современной российской семье. О ...

Проблема соотношения материального и духовного в обществе
Принципиальное отличие общества от всех физических систем обусловлено тем, что социальная реальность включает в себя не только материальные, но и духовные компоненты. Какова зависимость между материальным и духовным в обществе — это специ ...