SocioDone

Если объем выборки достаточно большой (практически, начиная с п > 20—30), то распределение выборочной средней , согласно центральной предельной теореме, независимо от характера генерального распределения приближается к нормальному распределению с параметрами

М()= и )

где — генеральная средняя,

σ— генеральное среднее квадратическое отклонение,

п — объем выборки.

Таким образом, величина

распределена по стандартному нормальному закону (с математическим ожиданием M(z) = 0 и средним квадратическим отклонением σ(z) = 1).

Задавшись доверительной вероятностью Р = 1 — α, определяем из равенства 2Ф(z) = 1 — α соответствующее значение za (используем при этом таблицу интегральной функции Лапласа). Тогда с вероятностью Р = 1 — α выполняется неравенство:

(1.9.22)

которое эквивалентно неравенству:

(1.9.23)

Величина называется предельной ошибкой выборки.

Таким образом, мы имеем доверительный интервал для генеральной средней:

( ; )

Наоборот, если задана предельная ошибка ε , а требуется определить вероятность Р, то схема решения задачи следующая:

ε→z=→Ф(z)→P=2Ф(z) (1.9.24)

Наконец, определение объема выборки п по данным Р и ε производится по следующей схеме:

P=2Ф(z) →z→n= (1.9.25)

Пример 1.9.4.

Взвешивание 50 случайно отобранных коробок печенья дало =1200г. Определить с вероятностью Р = 0,95 доверительные границы для среднего веса коробки печенья в генеральной совокупности, если есть основания полагать, что генеральная дисперсия σ2 = 11664.

Решение:

Дано: n=50; =1200; σ2 =11664 (= 108); Р = 0,95.

Из равенства Р = 2Ф(z)=0,95 по таблице значений интегральной функции Лапласа находим z=1,96, откуда:

ε=(г)

Таким образом, получаем доверительный интервал:

1200 — 30 < < 1200 + 30.

Пример 1.9.5Определить, с какой доверительной вероятностью можно утверждать, что при данном объеме выборки (50 коробок) ошибка выборки не превысит 20 г.

Решение:

По величине ε=20 вычисляем , откуда по таблице Ф(z): Р = 2Ф(1,31)≈0,81

Пример 1.9.6.Определить необходимый объем выборки n, который с вероятностью 0,99 гарантировал бы ошибку выборки не более чем ε = 20 г.

Решение:

Из Р = 2Ф(z) =0,99 находим z = 2,58, откуда:

Другие материалы:

Основные направления развития общественного призрения и частной благотворительности в оказании помощи инвалидам
Параллельно с государственными структурами помощи еще в XVIII в. начинают развиваться институты частной благотворительности, ведомственные институты поддержки и защиты, благотворительные общества. Вопросы оказания помощи инвалидам на пер ...

Демократия, ее характеристика. Демократическая политическая культура
Термин «демократия» появился в Древней Греции и в буквальном переводе означает «власть народа». В современной политической науке под демократией понимается политический режим (иногда говорят о политической системе, форме государственно-по ...

Виды социологического знания
Как и многие науки, социология развивалась в двух основных направлениях: фундаментальном и прикладном. Первое направление, называемое еще и макросоциологией, включает в себя проблемы социально-философского осмысления наиболее общих вопрос ...