SocioDone

Одна из важных задач математической статистики заключается в том, чтобы по данным случайной выборки оценить достаточно точно значения характеристик генерального распределения, как, например, долю признака, среднюю, дисперсию и т. д. Задачу об оценке можно разделить на две части: какую величину, подсчитанную по выборке, принять в качестве приближенного значения характеристики генерального распределения (точечная оценка), и в каком интервале вокруг этой величины будет заключена с заданной надежностью искомая характеристика (интервальная оценка).

Пусть генеральное распределение задается некоторой функцией F(x,ξ1,…,ξк), где ξ1,…,ξк - его параметры. Например, если распределение задается двумя параметрами ξ1 и ξ2, то ξ1 обычно характеризует среднюю, а ξ2- дисперсию (или среднее квадратическое отклонение) генерального распределения.

Случайный отбор позволяет выборку объема п рассматривать как п повторных испытаний. Результат каждого испытания (j-го единичного отбора) есть случайная величина Хj, а вся выборка — совокупность п случайных величин {Х1, … Хj, ., Хп} Любая конкретная выборка (х1, ., хi, ., хп) есть реализация этой совокупности случайных величин.

Для оценки неизвестного параметра ξ генеральной совокупности введем некоторую величину θ, вычисляемую по результатам выборки, т. е.

θ = θ (X1, ., Хj, ., Хп),

называемую статистикой.

Так, если для оценки генеральной средней ξ = выбрана статистика θ = Х* — выборочная средняя, то ее значения могут быть подсчитаны по результатам выборки как

Если для оценки генеральной дисперсии D выбрана статистика θ =D* — выборочная дисперсия, то ее значения могут быть рассчитаны по формуле

Статистика θ есть случайная величина. В ряде случаев можно найти ее распределение.

Статистическая оценка должна быть возможно более точной. С этой целью к статистике θ предъявляются требования:

1) состоятельности,

2) несмещенности,

3) эффективности.

1) Свойство состоятельности означает, что распределение статистики θ с ростом объема выборки п концентрируется в сколь угодно малое окрестности параметра ξ (статистика θ стремится по вероятности к оцениваемому параметру ξ). Свойство состоятельности выражается предельным равенством: для любого столь угодно малого положительного числа ε

(1.9.1)

Свойство состоятельности может быть выражено двумя более жесткими требованиями, которые являются достаточными условиями состоятельности и которые легче поддаются практической проверке:

и (1.9.2)

2) Свойство несмещенности означает, что при любом конечном объеме выборки п

центр рассеяния статистики θ (математическое ожидание случайной величины θ) совпадает со значением оцениваемого параметра генеральной совокупности:

М(θ) = ξ — для любого п. (1.9.3)

Естественно, что при заданном конечном объеме выборки п из различных возможных статистик для оценки параметра ξ следует выбрать ту статистику, которая, являясь несмещенной, обладает в то же время минимальным рассеянием, т.е. имеет минимальную дисперсию. Последнее свойство получило название эффективности.

Другие материалы:

Методика оценки и выбора приоритетных направлений использования дохода от целевого капитала автономного образовательного учреждения
Создание и функционирование фонда целевого капитала некоммерческой организации предполагают заранее сформированный перечень целей эффективного использования доходов от целевого капитала. Для этого необходимо сформулировать несколько проек ...

Движение человеческого капитала
Смена места работы(мобильность) сопровождается временной потерей дохода, поиском новой работы, переездом на новое место жительства. Это означает, что смена места работы связана со значит. краткосрочными инвестициями в чел. капитал. Добров ...

Социальное положение женщин в России
Адаптация женщин к новым условиям связана с большими социальными издержками; налицо их неравные стартовые возможности. Существование в массовом сознании патриархатных взглядов резко отрицательно сказывается на стимулировании активной деят ...