SocioDone

Социология: современные тенденции

Статистические оценки
Страница 1

Одна из важных задач математической статистики заключается в том, чтобы по данным случайной выборки оценить достаточно точно значения характеристик генерального распределения, как, например, долю признака, среднюю, дисперсию и т. д. Задачу об оценке можно разделить на две части: какую величину, подсчитанную по выборке, принять в качестве приближенного значения характеристики генерального распределения (точечная оценка), и в каком интервале вокруг этой величины будет заключена с заданной надежностью искомая характеристика (интервальная оценка).

Пусть генеральное распределение задается некоторой функцией F(x,ξ1,…,ξк), где ξ1,…,ξк - его параметры. Например, если распределение задается двумя параметрами ξ1 и ξ2, то ξ1 обычно характеризует среднюю, а ξ2- дисперсию (или среднее квадратическое отклонение) генерального распределения.

Случайный отбор позволяет выборку объема п рассматривать как п повторных испытаний. Результат каждого испытания (j-го единичного отбора) есть случайная величина Хj, а вся выборка — совокупность п случайных величин {Х1, … Хj, ., Хп} Любая конкретная выборка (х1, ., хi, ., хп) есть реализация этой совокупности случайных величин.

Для оценки неизвестного параметра ξ генеральной совокупности введем некоторую величину θ, вычисляемую по результатам выборки, т. е.

θ = θ (X1, ., Хj, ., Хп),

называемую статистикой.

Так, если для оценки генеральной средней ξ = выбрана статистика θ = Х* — выборочная средняя, то ее значения могут быть подсчитаны по результатам выборки как

Если для оценки генеральной дисперсии D выбрана статистика θ =D* — выборочная дисперсия, то ее значения могут быть рассчитаны по формуле

Статистика θ есть случайная величина. В ряде случаев можно найти ее распределение.

Статистическая оценка должна быть возможно более точной. С этой целью к статистике θ предъявляются требования:

1) состоятельности,

2) несмещенности,

3) эффективности.

1) Свойство состоятельности означает, что распределение статистики θ с ростом объема выборки п концентрируется в сколь угодно малое окрестности параметра ξ (статистика θ стремится по вероятности к оцениваемому параметру ξ). Свойство состоятельности выражается предельным равенством: для любого столь угодно малого положительного числа ε

(1.9.1)

Свойство состоятельности может быть выражено двумя более жесткими требованиями, которые являются достаточными условиями состоятельности и которые легче поддаются практической проверке:

и (1.9.2)

2) Свойство несмещенности означает, что при любом конечном объеме выборки п

центр рассеяния статистики θ (математическое ожидание случайной величины θ) совпадает со значением оцениваемого параметра генеральной совокупности:

М(θ) = ξ — для любого п. (1.9.3)

Рис. 1.9.1. Иллюстрация свойств состоятельности

Естественно, что при заданном конечном объеме выборки п из различных возможных статистик для оценки параметра ξ следует выбрать ту статистику, которая, являясь несмещенной, обладает в то же время минимальным рассеянием, т.е. имеет минимальную дисперсию. Последнее свойство получило название эффективности.

Рис. 1.9.2. Сравнение свойств трех статистик

Страницы: 1 2 3


Другие материалы:

Бедность как способствующий фактор терроризма
Бедность является показателем пониженного социального статуса личности или отдельных его параметров. Снижение социальных позиций определенных групп, углубление социальной дифференциации являются мощными факторами социальной агрессивности ...

Общепринятые требования к подготовке специалистов по социальной работе
Единого международного набора требований к обучению и аттестации социальных работников не существует. Каждая страна определяет свой набор требований по отношению подготовки специалистов по социальной работе. Для начала, остановимся на та ...

Частные демографические показатели
Кроме общих показателей для характеристики естественного движения населения существуют частные коэффициенты, отражающие внутренние процессы, рождение, смерть. Рождаемость в демографии – центральная проблема. Показатели уровня рождаемост ...