SocioDone

На рис. 1.9.2 показаны кривые распределения трех статистик. Из них θ и θ' — несмещенные и потому для построения оценки предпочтение должно быть отдано статистике θ' с меньшей дисперсией. Статистика θ" обладает еще меньшей дисперсией, однако она менее пригодна в качестве оценки, так как ее центр рассеяния смещен относительно параметра ξ`.

Статистику θ, принимающую для данной выборки определенное числовое значение, будем называть точечной оценкой параметра ξ и обозначать той же буквой, что и оцениваемый параметр, помечая ее звездочкой.

Для построения точечных оценок чаще всего применяют метод аналогии, т. е. для оценки параметров генерального распределения выбираются аналогичные параметры (характеристики) выборочного распределения.

Так, для оценки доли признака в генеральной совокупности p=M / N, генеральной средней и генеральной дисперсии

выбираются статистики (соответственно):

выборочная доля р*=,

выборочная средняя

и выборочная дисперсия

При этом в результате дальнейшей проверки устанавливается, что первые две обладают свойством несмещенности, а последняя будет обладать этим свойством, если ее умножить на корректирующий множитель

Условия (1.9.2) и (1.9.3) позволяют для конечного n записать лишь приближенное равенство:

ξ≈ ξ* (1.9.4)

Так как выборка носит случайный характер, то для различных возможных выборок случайная величина ξ* может принимать различные значения. Поэтому возникает задача дополнить точечную оценку информацией о возможной ее погрешности, т. е. оценить ошибку выборки

δ= ξ - ξ*

Пусть плотность распределения ξ* изображена на рис. 1.9.3.

Выберем интервал (ξ – ε1, ξ +ε2), в котором с достаточно близкой к 1 вероятностью будет заключена величина ξ*, т. е.

P(-ε1 <ξ - ξ* <ε2) = l – α (1.9.5*)

где α - величина, близкая к нулю.

Это означает, что в большинстве выборок (доля которых составляет 1— α) ошибка выборки попадет в интервал (-ε1, ε2), и лишь в относительно малом числе выборок (доля которых равна α) ошибка δ выйдет за пределы интервала (-ε1, ε2 ). Поскольку производится одна выборка, то с практической достоверностью (т.е. с вероятностью 1 − α) можно полагать, что ее ошибка попадет в данный интервал, и, наоборот, практически невозможно (т. е. с вероятностью α), что она выйдет за границы интервала.

Но если ε1<ξ - ξ* <ε2, то ξ* - ε1< ξ< ξ*+ ε 2, и равенство (1.9.5*) запишется в виде:

P(ξ* - ε1 <ξ <ξ* +ε2) = l − α (1.9.5)

В силу изложенного

• интервал (ξ* - ε1, ξ*+ε2) называется доверительным интервалом,

• числа ξ*- ε1, ξ*+ε2 - доверительными границами,

• вероятность Р=1—α - доверительной вероятностью и

• α- уровнем значимости (существенности)

Доверительный интервал дополняет точечную оценку ξ* оценкой ошибки выборки, или интервальной оценкой параметра α.

Если для точечной оценки необходимо знать лишь выражение для ξ* как функцию данных выборки, то для построения доверительного интервала необходимо знать также закон распределения ξ*, с помощью которого рассчитывается вероятность (1.9.5).

Другие материалы:

Формы брака
Способ, каким выбирается брачный партнер, подразделяет все формы брака на два типа – эндогамный и экзогамный. При эндогамии партнер выбирается только из той группы, к которой относится сам выбирающий, то есть это обычай, по которому разре ...

Экономические аспекты миграции молодёжи
Миграция молодёжи может быть связана не только с демографическими или социальными аспектами, также миграция может быть связана с экономическими факторами, например, с желанием молодёжи улучшить своё экономическое благосостояние, т.е. поис ...

Теория общества как системы
Понятие «система» проникло в социологию в связи с необходимостью описать развитие социального мира как относительно самостоятельный процесс, в котором общество представляется некоторой целостностью, состоящей из взаимосвязанных и взаимоза ...