Частные показатели
Осталось привести лишь частные случаи. При a=0 имеем
I(F)=,
при a=1 получается мера расслоения Тайла (Theil):
I(F)=,
наконец, при a=2 имеем квадрат коэффициента вариации:
I(F)=,
множители перед интегралом опущены в соответствии с определением разложимости.
Рассмотрим общество, заданное функцией распределения F, состоящее из m групп, каждая из которых определяется своей функцией распределения Fi (). В этом случае F=
, где li³0, и Sli=1. Кроме того, чтобы F была функцией распределения всего общества необходимо представление распределения центров групп в виде F0(x)=SiH(x-xi)li, где H(x) - функция Хевисайда, т.е. она равна 1 при x³0 и 0 в других случаях, а li=ni/n и xi=m(Fi).
Остается привести лишь разложения уже приведенных показателей расслоения.
Для первого показателя - логарифмической меры расслоения - имеем функцию w(x)=-ln[x/m(F)], которая дает название меры. Для нее весовая функция p имеет вид p[m(Fi)]=1. а показатель расслоения
I[m(F)]=,
или, в более общем виде для распределения F(x)=, где F(x/l)=Fi(x) при l=m(Fi),
.
Для меры неравенства Тейла функция w(x)=[x/m(F)]ln[x/m(F)], весовая функция p[m(Fl)]=[l/m(F)], поэтому,
Для квадрата коэффициента вариации функция w(x)=[x/m(F)]2-1, весовая функция p[m(Fl)]=[l/m(F)]2 и
.
В самом общем виде для функции w(x)=[x/m(F)]a-1 весовая функция p[m(Fl)] будет равна [l/m(F)]a, а разложимый показатель расслоения для любого a имеет вид
.
Для того, чтобы убедиться в неотрицательности любого из приведенных показателей бедности следует проделать следующее. Во-первых, все представленные в показателях расслоения весовые функции w(x) выпуклы. Во-вторых, все функции распределения Fl таковы, что их средние значения равны единице. В-третьих, для выпуклых функций w справедливо неравенство Йенсена E
w(X)³w(E
X). Теперь, применив неравенство Йенсена к весовой функции w[x/m(F)] получаем требуемый результат.
Последнее обстоятельство, на которое необходимо обратить внимание, заключается в том, что функция Лоренца разложима в смысле уже данного определения. Действительно, пусть F(w)=SlIFi(w). Тогда справедливо равенство L(w)=(1|W)SliWiLi(w), которое следует из определения функции Лоренца после вынесения из-под знака интеграла Sli и умножения каждого слагаемого на Wi/Wi. Легко убедиться, что сумма весов (lIWi/W) последнего соотношения равна 1. Однако коэффициент Джини неразложим. Наконец, энтропия распределения, представляющего собой функцию Лоренца, это разложимая мера расслоения Тейла.
Другие материалы:
Организация работы органов социальной защиты челябинской области по
назначению членам семей погибших военнослужащих компенсационных виплат. Порядок работы органов социальной защиты населения области
Министерство экономического развития Челябинской области в соответствии с Законом Российской Федерации от 09.12.1991 года № 2003-1 освобождает от уплаты налогов на имущество физических лиц, освобождаются члены семей военнослужащих, потеря ...
Условия заключения брака.
Согласно ст.11 СК РМ условиями заключения брака является бескорыстное взаимное согласие мужчины и женщины, вступающих в брак ,а также достижение ими брачного возраста.
Запрещаются браки между усыновленными и усыновителями. Это приобрело ...
Анализ документов
Данный метод, очень важный метод сбора информации при формулятивном плане исследования (для выдвижения гипотез и общей разведки темы) и на стадии работы по описательному плану. В экспериментальных исследованиях возникают значительные труд ...