SocioDone

Социология: современные тенденции

Частные показатели

Осталось привести лишь частные случаи. При a=0 имеем

I(F)=,

при a=1 получается мера расслоения Тайла (Theil):

I(F)=,

наконец, при a=2 имеем квадрат коэффициента вариации:

I(F)=,

множители перед интегралом опущены в соответствии с определением разложимости.

Рассмотрим общество, заданное функцией распределения F, состоящее из m групп, каждая из которых определяется своей функцией распределения Fi (). В этом случае F=, где li³0, и Sli=1. Кроме того, чтобы F была функцией распределения всего общества необходимо представление распределения центров групп в виде F0(x)=SiH(x-xi)li, где H(x) - функция Хевисайда, т.е. она равна 1 при x³0 и 0 в других случаях, а li=ni/n и xi=m(Fi).

Остается привести лишь разложения уже приведенных показателей расслоения.

Для первого показателя - логарифмической меры расслоения - имеем функцию w(x)=-ln[x/m(F)], которая дает название меры. Для нее весовая функция p имеет вид p[m(Fi)]=1. а показатель расслоения

I[m(F)]=,

или, в более общем виде для распределения F(x)=, где F(x/l)=Fi(x) при l=m(Fi),

.

Для меры неравенства Тейла функция w(x)=[x/m(F)]ln[x/m(F)], весовая функция p[m(Fl)]=[l/m(F)], поэтому,

Для квадрата коэффициента вариации функция w(x)=[x/m(F)]2-1, весовая функция p[m(Fl)]=[l/m(F)]2 и

.

В самом общем виде для функции w(x)=[x/m(F)]a-1 весовая функция p[m(Fl)] будет равна [l/m(F)]a, а разложимый показатель расслоения для любого a имеет вид

.

Для того, чтобы убедиться в неотрицательности любого из приведенных показателей бедности следует проделать следующее. Во-первых, все представленные в показателях расслоения весовые функции w(x) выпуклы. Во-вторых, все функции распределения Fl таковы, что их средние значения равны единице. В-третьих, для выпуклых функций w справедливо неравенство Йенсена E

w(X)³w(E

X). Теперь, применив неравенство Йенсена к весовой функции w[x/m(F)] получаем требуемый результат.

Последнее обстоятельство, на которое необходимо обратить внимание, заключается в том, что функция Лоренца разложима в смысле уже данного определения. Действительно, пусть F(w)=SlIFi(w). Тогда справедливо равенство L(w)=(1|W)SliWiLi(w), которое следует из определения функции Лоренца после вынесения из-под знака интеграла Sli и умножения каждого слагаемого на Wi/Wi. Легко убедиться, что сумма весов (lIWi/W) последнего соотношения равна 1. Однако коэффициент Джини неразложим. Наконец, энтропия распределения, представляющего собой функцию Лоренца, это разложимая мера расслоения Тейла.


Другие материалы:

Демографическая политика Казахстана и социологическое развитие семьи
Демографическая политика составляет основу внутренней политики любого подлинного независимого государства. Для одних является актуальной угроза перенаселения (Китай, Индия, Египет и др.), для других - недонаселенность (Австралия, Канада, ...

Приоритетные направления социальной политики государства в оказании помощи неполной семье
Как говорилось раньше, проблема увеличения численности неполных семей в нашей стране назревает уже давно, но в последнее десятилетие она стоит особенно остро. Нашей властью не до конца осознается масштабность и глубина кризиса семьи и не ...

Особенности функционирования государственных и негосударственных организаций в системе социальной защиты населения. Зарубежный опыт социальной работы Государственные организации социальной защиты н
Спонсорами этих организаций выступают федеральное правительство, штат, округ. Они финансируются за счет государственного налога, то есть, специалист, работающий в них, получает заработную плату из государственного бюджета. Государственны ...