SocioDone

Осталось привести лишь частные случаи. При a=0 имеем

I(F)=,

при a=1 получается мера расслоения Тайла (Theil):

I(F)=,

наконец, при a=2 имеем квадрат коэффициента вариации:

I(F)=,

множители перед интегралом опущены в соответствии с определением разложимости.

Рассмотрим общество, заданное функцией распределения F, состоящее из m групп, каждая из которых определяется своей функцией распределения Fi (). В этом случае F=, где li³0, и Sli=1. Кроме того, чтобы F была функцией распределения всего общества необходимо представление распределения центров групп в виде F0(x)=SiH(x-xi)li, где H(x) - функция Хевисайда, т.е. она равна 1 при x³0 и 0 в других случаях, а li=ni/n и xi=m(Fi).

Остается привести лишь разложения уже приведенных показателей расслоения.

Для первого показателя - логарифмической меры расслоения - имеем функцию w(x)=-ln[x/m(F)], которая дает название меры. Для нее весовая функция p имеет вид p[m(Fi)]=1. а показатель расслоения

I[m(F)]=,

или, в более общем виде для распределения F(x)=, где F(x/l)=Fi(x) при l=m(Fi),

.

Для меры неравенства Тейла функция w(x)=[x/m(F)]ln[x/m(F)], весовая функция p[m(Fl)]=[l/m(F)], поэтому,

Для квадрата коэффициента вариации функция w(x)=[x/m(F)]2-1, весовая функция p[m(Fl)]=[l/m(F)]2 и

.

В самом общем виде для функции w(x)=[x/m(F)]a-1 весовая функция p[m(Fl)] будет равна [l/m(F)]a, а разложимый показатель расслоения для любого a имеет вид

.

Для того, чтобы убедиться в неотрицательности любого из приведенных показателей бедности следует проделать следующее. Во-первых, все представленные в показателях расслоения весовые функции w(x) выпуклы. Во-вторых, все функции распределения Fl таковы, что их средние значения равны единице. В-третьих, для выпуклых функций w справедливо неравенство Йенсена E

w(X)³w(E

X). Теперь, применив неравенство Йенсена к весовой функции w[x/m(F)] получаем требуемый результат.

Последнее обстоятельство, на которое необходимо обратить внимание, заключается в том, что функция Лоренца разложима в смысле уже данного определения. Действительно, пусть F(w)=SlIFi(w). Тогда справедливо равенство L(w)=(1|W)SliWiLi(w), которое следует из определения функции Лоренца после вынесения из-под знака интеграла Sli и умножения каждого слагаемого на Wi/Wi. Легко убедиться, что сумма весов (lIWi/W) последнего соотношения равна 1. Однако коэффициент Джини неразложим. Наконец, энтропия распределения, представляющего собой функцию Лоренца, это разложимая мера расслоения Тейла.

Другие материалы:

Роль коммуникации в практике социальной работы
Общение лежит в основе любого вида человеческой деятельности и служит жизненно важной цели установления взаимосвязей и сотрудничества людей. Способность к общению относится к числу важнейших человеческих качеств. К людям, легко вступающи ...

Семья как малая группа и социальный институт. Проблемы развития семьи в современном обществе
Семья – основанное на кровном родстве, браке или усыновлении, объединение людей, связанных общностью быта и взаимной ответственностью за воспитание детей. Признаки семьи: 1. Брачные, кровнородственные связи или связи усыновления. 2. С ...

Отношение современного общества к андеграунду в искусстве на примере города Иркутска
Написание курсовой работы под названием "Андеграунд как социокультурный феномен" и изучение этой темы потребовало проведения самостоятельного исследования с целью выявления общественного мнения к андеграунду в искусстве. Провед ...