Частные показатели
Осталось привести лишь частные случаи. При a=0 имеем
I(F)=,
при a=1 получается мера расслоения Тайла (Theil):
I(F)=,
наконец, при a=2 имеем квадрат коэффициента вариации:
I(F)=,
множители перед интегралом опущены в соответствии с определением разложимости.
Рассмотрим общество, заданное функцией распределения F, состоящее из m групп, каждая из которых определяется своей функцией распределения Fi (). В этом случае F=, где li³0, и Sli=1. Кроме того, чтобы F была функцией распределения всего общества необходимо представление распределения центров групп в виде F0(x)=SiH(x-xi)li, где H(x) - функция Хевисайда, т.е. она равна 1 при x³0 и 0 в других случаях, а li=ni/n и xi=m(Fi).
Остается привести лишь разложения уже приведенных показателей расслоения.
Для первого показателя - логарифмической меры расслоения - имеем функцию w(x)=-ln[x/m(F)], которая дает название меры. Для нее весовая функция p имеет вид p[m(Fi)]=1. а показатель расслоения
I[m(F)]=,
или, в более общем виде для распределения F(x)=, где F(x/l)=Fi(x) при l=m(Fi),
.
Для меры неравенства Тейла функция w(x)=[x/m(F)]ln[x/m(F)], весовая функция p[m(Fl)]=[l/m(F)], поэтому,
Для квадрата коэффициента вариации функция w(x)=[x/m(F)]2-1, весовая функция p[m(Fl)]=[l/m(F)]2 и
.
В самом общем виде для функции w(x)=[x/m(F)]a-1 весовая функция p[m(Fl)] будет равна [l/m(F)]a, а разложимый показатель расслоения для любого a имеет вид
.
Для того, чтобы убедиться в неотрицательности любого из приведенных показателей бедности следует проделать следующее. Во-первых, все представленные в показателях расслоения весовые функции w(x) выпуклы. Во-вторых, все функции распределения Fl таковы, что их средние значения равны единице. В-третьих, для выпуклых функций w справедливо неравенство Йенсена E
w(X)³w(E
X). Теперь, применив неравенство Йенсена к весовой функции w[x/m(F)] получаем требуемый результат.
Последнее обстоятельство, на которое необходимо обратить внимание, заключается в том, что функция Лоренца разложима в смысле уже данного определения. Действительно, пусть F(w)=SlIFi(w). Тогда справедливо равенство L(w)=(1|W)SliWiLi(w), которое следует из определения функции Лоренца после вынесения из-под знака интеграла Sli и умножения каждого слагаемого на Wi/Wi. Легко убедиться, что сумма весов (lIWi/W) последнего соотношения равна 1. Однако коэффициент Джини неразложим. Наконец, энтропия распределения, представляющего собой функцию Лоренца, это разложимая мера расслоения Тейла.
Другие материалы:
Понятийный аппарат научного исследования. Основные термины и
определения.
Знание - воспроизведение обобщённых представлений о закономерных связях объективного мира. Функциями знания являются обобщение разрозненных представлений о закономерностях природы общества и мышления; хранение в обобщенных представлениях ...
Конструирование социальных технологий
Анализ условий возникновения социальных технологий убеждает в том, что «всякая социальная технология опирается на некий обязательный фундамент» иными словами, существуют принципы построения (конструирования) технологий, которые в свою оче ...
Каковы основные средства социального контроля?
Основные средства социального контроля заключаются в следующем:
1. Социализация, обеспечивающая восприятие, усвоение и выполнение индивидом принятых в обществе социальных норм.
2. Воспитание — процесс систематического и целенаправленног ...