SocioDone

Социология: современные тенденции

Частные показатели

Осталось привести лишь частные случаи. При a=0 имеем

I(F)=,

при a=1 получается мера расслоения Тайла (Theil):

I(F)=,

наконец, при a=2 имеем квадрат коэффициента вариации:

I(F)=,

множители перед интегралом опущены в соответствии с определением разложимости.

Рассмотрим общество, заданное функцией распределения F, состоящее из m групп, каждая из которых определяется своей функцией распределения Fi (). В этом случае F=, где li³0, и Sli=1. Кроме того, чтобы F была функцией распределения всего общества необходимо представление распределения центров групп в виде F0(x)=SiH(x-xi)li, где H(x) - функция Хевисайда, т.е. она равна 1 при x³0 и 0 в других случаях, а li=ni/n и xi=m(Fi).

Остается привести лишь разложения уже приведенных показателей расслоения.

Для первого показателя - логарифмической меры расслоения - имеем функцию w(x)=-ln[x/m(F)], которая дает название меры. Для нее весовая функция p имеет вид p[m(Fi)]=1. а показатель расслоения

I[m(F)]=,

или, в более общем виде для распределения F(x)=, где F(x/l)=Fi(x) при l=m(Fi),

.

Для меры неравенства Тейла функция w(x)=[x/m(F)]ln[x/m(F)], весовая функция p[m(Fl)]=[l/m(F)], поэтому,

Для квадрата коэффициента вариации функция w(x)=[x/m(F)]2-1, весовая функция p[m(Fl)]=[l/m(F)]2 и

.

В самом общем виде для функции w(x)=[x/m(F)]a-1 весовая функция p[m(Fl)] будет равна [l/m(F)]a, а разложимый показатель расслоения для любого a имеет вид

.

Для того, чтобы убедиться в неотрицательности любого из приведенных показателей бедности следует проделать следующее. Во-первых, все представленные в показателях расслоения весовые функции w(x) выпуклы. Во-вторых, все функции распределения Fl таковы, что их средние значения равны единице. В-третьих, для выпуклых функций w справедливо неравенство Йенсена E

w(X)³w(E

X). Теперь, применив неравенство Йенсена к весовой функции w[x/m(F)] получаем требуемый результат.

Последнее обстоятельство, на которое необходимо обратить внимание, заключается в том, что функция Лоренца разложима в смысле уже данного определения. Действительно, пусть F(w)=SlIFi(w). Тогда справедливо равенство L(w)=(1|W)SliWiLi(w), которое следует из определения функции Лоренца после вынесения из-под знака интеграла Sli и умножения каждого слагаемого на Wi/Wi. Легко убедиться, что сумма весов (lIWi/W) последнего соотношения равна 1. Однако коэффициент Джини неразложим. Наконец, энтропия распределения, представляющего собой функцию Лоренца, это разложимая мера расслоения Тейла.


Другие материалы:

Характеристика современной молодёжи как социальной прослойки общества
В любую историческую эпоху были свои идеалы, ценности. Например, в православной Руси была вера, в Российской Империи идеалом человека являлся царь, в советское время существовали такие ценности как труд, товарищество, уважение к старшим, ...

Рождаемость: общие сведения
Обращу внимание на такое важное понятие, как естественная рождаемость. Под естественной рождаемостью понимают брачную рождаемость при условии отсутствия всякого прямого вмешательства в репродуктивный цикл. Однако естественную рождаемость ...

Классификация видов социального управления
С научной точки зрения управление - это направленная координация и организация объекта управления. Данная сфера деятельности возникла в ходе разделения труда. С ее помощью человек воздействует на технологические, экономические и социальны ...