SocioDone

Пример 1.9.1Произведена случайная выборка объемом.n=200 деталей. Из них поврежденных оказалось 40. Определить с вероятностью 0,95 доверительный интервал для доли поврежденных деталей генеральной совокупности.

Рассчитываем выборочную долю:

р* = m / n = 40 / 200 = 0.20

По заданной доверительной вероятности

Р = 1 – α = 2Ф

(zα) = 0.95

находим по таблице интегральной функции Лапласа соответствующее значение zα =1,96. Применяем формулу (1.9.9):

Таким образом, доверительный интервал для генеральном доли р:

0,20-0,06<p<0,20+0,06, или 0,14<p<0,26

Пример 1.9.2.

По результатам той же выборки определить вероятность того, что ошибка выборки не превысит 0,03.

Имеем:

Отсюда:

По таблице интегральной функции Лапласа находим соответствующую доверительную вероятность Р = 2Ф

(zа )=0,71.

Пример 1.9.3.До проведения выборки необходимо ответить на вопрос: какой объем выборки обеспечит с вероятностью

0,95 ошибку выборзки не более, чем 0,02?

Применяем формулу (1.9.11):

Следует заметить, что требуемые надежность и точность может обеспечить в нашей задаче и выборка меньшего объема.

Если до проведения выборки

у нас есть приближенная оценка хотя бы максимальной величины р*, то мы

можем применить формулу (1.9.10) и получить меньшее значение необходимого объема выборки п.

В случае безвозвратной выборки случайная величина р*, как доказывается

в теории вероятностей, имеет так называемое гипергеометрическое распределение. Ее математическое ожидание,

как и в случае возвратной

выборки, равно генеральной доле: М(р*)=р, а среднее квадратическое

отклонение вычисляется но формуле:

(1.9.12)

где N — объем генеральной совокупности

При

достаточно большом объеме выборки гипергеометрическое

распределение также хорошо аппроксимируется

нормальным распределением с указанными параметрами M(p*) и σ(p*), поэтому дальнейший ход решения задач аналогичен рассмотренному выше случаю возвратной выборки.

Формула для предельной выборки принимает вид

(1.9.13)

При решении задач III типа из (1.9.13) получаем:

(1.9.14)

Соответственно изменится и формула для nmax :

(1.9.15)

Если объем выборочной совокупности n составляет незначительную долю по отношению к объему генеральной совокупности N, то величина в формуле (1.9.12) ближе к 1, можно пренебречь различием формул (1.9.9) и (1.9.13) и пользоваться более простыми соотношениями для возвратной выборки, даже если фактически выборка производится как безвозвратная.

В заключение раздела необходимо отметить что в статистике используется понятие средней ошибки выборки, которая определяется как среднее квадратическое отклонение соответствующей выборочной характеристики. Нетрудно видеть, что формула для средней ошибки выборки является частным случаем формулы предельной ошибки выборки при z=1.

Другие материалы:

Религия в секуляризованном обществе
«…Ещё один тип конфликтов связан с существованием религии в обществе, находящимся на той или иной стадии развития процесса секуляризации. Эти конфликты могут быть вызваны изменениями духовной жизни общества, обусловленными формированием с ...

Задачи изучения уровня жизни
Важнейшая задача статистики уровня жизни – выявление закономерностей изменения благосостояния населения. Для этого проводятся исследования, охватывающие как всю страну, так и ее регионы, социально-демографические группы населения и различ ...

Прогнозы на дальнейшее развитие демографических процессов
Исходя из характера демографических процессов последнего десятилетия, а также демографических предпосылок более ранних лет, можно сделать прогнозную оценку основных тенденций развития демографической ситуации в стране на перспективу. В ос ...